En todos los problemas, la respuesta debe estar debidamente justificada

Problema 1
Nico debe elegir un entero positivo n. A continuación, Gonzalo debe elegir tres enteros distintos a,b,c, mayores que el cuadrado de n y menores que el cuadrado de (n+1). tales que la suma de los cuadrados de a y b sea múltiplo de c. Demostrar que no importa qué número elija Nico, Gonzalo siempre puede lograr su objetivo.

Problema 2
Para cada número natural n se consideran 2n puntos del plano que son los vétices de un polígono regular de 2n lados. Hay que trazar n segmentos que unan dos de estos puntos de modo que cada uno de los puntos sea el estremo de exactamente un segmento y que los n segmentos tengan longitudes distintas. Determinar todos los valores de n para los cuales esto es posible.
Aclaración: Está permitido que los segmentos que se trazan se crucen entre sí.

Problema 3
Sean A, B y C puntos de una circunferencia de centro O tales que BC es un diámetro y AO es perpendicular a BC. Se traza por A una recta que corta a la circunferencia en D y a la recta BC en E. La recta tangente a la circuenferencia en D y la recta perpendicular a BC por E se cortan en F. Hallar el lugar geométrico de los puntos F al variar las rectas por A.





La miel esta vez fue solo mía.